浮点数与 IEEE 754

文章将从以下几个问题出发，讨论浮点数与 IEEE 754 标准：

二进制 0.1，用十进制表示的话是多少？十进制的 0.1，用二进制表示又是多少？
为什么 0.1 + 0.2 = 0.30000000000000004？
单精度和双精度浮点数的有效小数位分别是多少？
单精度浮点数能表示的范围是什么？
浮点数为什么会存在 -0？infinity 和 NaN 又是怎么表示的？

小数的二进制和十进制转换

二进制转十进制

和整数转换一样，采用各位数值和位权相乘。记住小数点后第一位是从 -1 开始即可。

十进制转二进制

十进制整数转二进制采用“除 2 取余，逆序排列”法，直到商为0为止。

十进制小数转二进制采用“乘 2 取整，顺序排列”法，直到小数为0或达到精度要求。

这样一来，有些十进制为有限小数转为二进制就成了无限循环小数了，例如：

\begin{matrix} (0.1)_{2} = (0.5)_{10} \\ (0.1)_{10} = (0.0 \ 0011 \ 0011\cdots)_2 \\ \end{matrix}

什么是浮点数

计算机中小数的表示法，其实有定点和浮点两种。

定点数：数的小数点固定在同一位置不变。

因为资源的限制，数学中的小数无法直接在计算机中准确表示，为了更好地表示便有了浮点数。这种表示方法类似于基数为10的科学记数法，是对小数的近似表示。简单来说，浮点数是相对于定点数而言的，小数点位置是浮动的。

维基百科中对浮点数的解释如下：

在计算机科学中，浮点（英语：floating point，缩写为FP）是一种对于实数的近似值数值表现法，由一个有效数字（即尾数）加上幂数来表示，通常是乘以某个基数的整数次指数得到。以这种表示法表示的数值，称为浮点数（floating-point number）。

一个浮点数 a 由两个数 m 和 e 来表示:

a = m \times b^e

选择一个基数 b 和精度 p（即使用多少位来存储）。尾数 m 是形如 d.ddd…ddd 的 p 位数（每一位都为介于0到b-1之间的整数，包括0和b-1）。如果m的第一位是非0整数，m称作正规化的。e是指数。使用一个单独的符号位 s 来表示正负。

即浮点数是指用符号、尾数、基数和指数这四部分来表示的小数。

浮点数的 IEEE 754 表示

解释这个问题之前，先来看一个经典的问题：0.1+0.2=？

人来计算这个问题，答案无疑是 0.3 ；但是让计算机来解决这个问题，答案还是 0.3 吗？

我们来写个程序看一下：

C：

#include <stdio.h>

int main() {
  double a = 0.1, b = 0.2;
  printf("%.17f", a + b);
  return 0;
}

C++：

#include <iostream>
#include <iomanip>

int main() {
  double a = 0.1, b = 0.2;
  std::cout << std::setiosflags(std::ios::fixed) << std::setprecision(17)
            << a + b << std::endl;
  return 0;
}

Java：

public class Main {
    public static void main(String[] argv) {
        double a = 0.1, b = 0.2;
        System.out.println(a + b);
    }
}

Python：

1
2
3

a = 0.1
b = 0.2
print(a + b)

Go：

import "fmt"

func main() {
	var a float64 = 0.1
	var b float64 = 0.2
	fmt.Println(a + b)
}

结果无一例外，结果均为：

1	0.30000000000000004

这就要回到 IEEE 754 标准关于浮点数的规定。